Hệ thống đạo hàm căn – Chi tiết và chính xác – Kiến Guru

Hệ thống hóa kiến thức về đạo hàm căn và các công thức chi tiết sau đây cung cấp cho các bạn học sinh những lý thuyết cần thuyết cho môn Toán. Mời các bạn học sinh cùng theo dõi và tham khảo để có thể hiểu được môn học này một cách chi tiết và dễ nhớ nhất nhé.

Đạo hàm căn là gì ?

1. Định nghĩa:

Đạo hàm căn là gì?

Hãy cùng nhau tìm hiểu về bản chất của đạo hàm trước khi đến với lý thuyết về đạo hàm căn thức.

Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số cùng với số gia của một đối số tại điểm x0. qua Chiều biến thiên hàm số cùng độ lớn của biến thiên của đạo hàm thể hiện giá trị của đạo hàm được này. Đạo hàm còn mang tính ứng dụng về khía cạnh hình học và vật lý.

Đơn giản hóa định nghĩa bằng công thức sau. Lấy một hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a;b) với x0 ∈ (a;b). Ta có giới hạn hữu tỉ của tỉ số khi x tiến tới x0 được gọi là đạo hàm của một hàm số đã được cho trước tại x0.

Ký hiệu: f’(x0) hoặc y’(x0).

• Thu được:

Trên đây là tổng hợp những lý thuyết về đạo hàm và định nghĩa của đạo hàm căn thức được xác định từ kiến thức của đạo hàm.

2. Công thức chung.

Có thể tính đạo hàm căn bằng cách sau:

Theo công thức tính đạo hàm, ta có công thức tổng quát như sau:

Với hàm số y = () ta có đạo hàm y’ = ()’= u’/2().

Tồn tại rất nhiều công thức đạo hàm căn khác nhau. Tuy nhiên, tổng quát lại công thức chung về đạo hàm căn thức bao gồm:

Công thức đối với đạo hàm căn x bậc n: với n ∈ N*, n > 1

Công thức đối với đạo hàm căn u bậc n: với n ∈ N*, n > 1

Đây chính là hai công thức tổng quát nhất và có thể áp dụng cho hầu hết các dạng bài toán tính đạo hàm căn khác nhau, tùy thuộc vào yêu cầu của đề bài. Các bạn học sinh cần học thuộc lòng và nắm rõ các công thức này.

Ngoài ra, chúng ta có một vài công thức đạo hàm căn đơn giản mà các bạn học sinh cần phải biết:

• Công thức dành cho các bài toán có căn thức đơn giản:
• Công thức tổng quát cho các bài toán đạo hàm căn bậc 2 của u:
• Công thức tổng quát cho các bài toán đối với những bài toán chứa căn bậc 2 có u dưới mẫu:
• Công thức tổng quát cho các bài toán đối với những bài toán đạo hàm căn u bậc n, ta có công thức tổng quát:

Công thức đạo hàm căn bậc 2.

Ta có công thức tổng quát về đạo hàm căn bậc 2 như sau:

• Đạo hàm căn bậc 2 của hàm hợp :

Dưới đây là một vài ví dụ về công thức tính đạo hàm căn bậc 2:

Câu 1: Cho y = 4 – . Tìm giá trị của sao cho đạo hàm của hàm số có giá trị bằng 0

Hướng dẫn giải:

y ʹ = ( 4 – ) ʹ = 4 –

Theo đề bài, ta có :

y ʹ = 0 ⬄ 4 – = 0 ⬄ – 9 = 0 ⬄ =

Câu 2: Tính giá trị đạo hàm của hàm số y = tại = 1

Hướng dẫn giải:

Ta có: y = , suy ra yʹ = ()ʹ ⬄ yʹ = (1)

Thế = 1 vào (1) ta được: y ʹ = =

• Tại điểm = 1 thì đạo hàm của y không xác định

Công thức đạo hàm căn bậc 3.

Đối với các bài tập có dạng tính đạo hàm liên quan đến số mũ là các số hữu tỉ, các bạn học sinh cần chú ý các lý thuyết sau:

• Lũy thừa mà số mũ của nó là số nguyên dương a ∈ R: an = a.a.a…..a (n thừa số a)
• Lũy thừa mà số mũ của nó nguyên âm a ≠ 0: a-n = và a0 = 1
• Lũy thừa có số mũ hữu tỉ a > 0: = ; (m,n ∈ và n > 2)

Từ các lý thuyết trên, ta có thể suy ra công thức tính đạo hàm căn bậc 3 như sau:

Sau đây là một vài ví dụ về dạng toán đạo hàm căn bậc 3:

Câu 1: Hãy tính đạo hàm của hàm số y =

Hướng dẫn giải:

Ta có : y = =

• y ʹ = ( = . = . = .

Câu 2: Hãy tính đạo hàm của hàm số y =

Hướng dẫn giải:

y = =

• y ʹ =ʹ = . = . 2. =

Các công thức đạo hàm căn khác.

1. Công thức tính đạo hàm căn u.

Ta có một số công thức đạo hàm căn u với u là các hàm hợp, như sau:

Ngoài ra, ta có một số công thức chung áp dụng cho đạo hàm căn bậc u mũ n như sau:

• =
• =
• (u α)ʹ = α . u α-1 . uʹ
• ()ʹ = –

Dưới đây là một ví dụ về đạo hàm căn u.

Câu 1: Hãy tính đạo hàm của hàm số sau: y = với (

Hướng dẫn giải:

yʹ = ) ʹ= = = =

Câu 2: Hãy tính đạo hàm của hàm số sau: y =

Hướng dẫn giải:

yʹ = = = =

=

2. Công thức tính đạo hàm căn x.

Ta có một số công thức đạo hàm căn x với x là các ẩn số như sau:

Dưới đây là một ví dụ về đạo hàm căn x.

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số: y = 2

Hướng dẫn giải:

yʹ = ( 2) ʹ =

Bài 2: Cho hàm số y = -2 + 3 , xác định tập nghiệm của phương trình yʹ > 0

Hướng dẫn giải:

y = – 2 + 3 => y ʹ = + 3

Theo đề bài ta có phương trình yʹ > 0, suy ra:

+ 3 > 0 ⬄ 3 > => >

Vậy, tập nghiệm của phương tình yʹ > 0 nằm trong khoảng từ đến vô cực. Hay nói cách khác, các giá trị lớn hơn thuộc tập nghiệm của phương trình y ʹ = + 3 > 0

3. Một số công thức tính đạo hàm khác.

Đạo hàm là một phần rất khó của môn Toán học, vì vậy ngoài các công thức về đạo hàm căn, dưới đây là một số các công thức tổng quát về các dạng đạo hàm khác, bao gồm hai dạng chính là đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp:

• Các công thức đạo hàm cơ bản với ẩn số x:
• Các công thức đạo hàm của hàm hợp với hàm hợp được kí hiệu là u:

Ta có hàm số y = f(u(x)). Ta có thể tính đạo hàm của hàm số f(u(x)) đã cho theo x bằng cách sau:

yʹx = fʹx = fʹu. uʹx

Công thức đạo hàm cấp cao:

Trên đây là toàn bộ kiến thức về đạo hàm căn. Các bạn học sinh có thể tham khảo để có được kiến thức vững chắc nhất, đồng thời phát triển môn học theo định hướng của bản thân và đạt được điểm số như mong muốn. Chúc các bạn học sinh hoàn thành tốt môn Toán.