Đường trung trực là gì? Tính chất của đường trung trực

Đường trung trực là một trong các kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 7. Vậy Đường trung trực là gì? các tính chất đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất ba đường trung trực của tam giác như thế nào? Mong rằng qua nội dung bài viết này sẽ cung cấp các kiến thức để các em học sinh có thể tham khảo.

Đường trung trực là gì?

– Đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

– Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

– Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Tính chất của đường trung trực

Đường trung trực là gì? tính chất của đường trung trực như sau:

– Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

– Tính chất ba đường trung trực của tam giác:

+ Đường trung trực của mỗi cạnh của tam giác gọi là đường trung trực của tam giác.

+ Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+ Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.

+ Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao tương ứng của đỉnh đối diện với cạnh này.

+ Trong không gian 3 chiều, quỹ tích này mở rộng thành mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng.

Cách vẽ đường trung trực

Ngoài hiểu được khái niệm Đường trung trực là gì? thì cần nắm được cách vẽ đường trung trực.

– Bằng compa: Quay 2 đường tròn có tâm là 2 đầu đoạn thẳng, bán kính bằng độ dài đoạn thẳng (hoặc ít nhất là lớn hơn nửa độ dài đoạn thẳng). Đường trung trực là đường nối giao điểm hai đường tròn này.

– Bằng thước và êke: Kẻ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng cần vẽ đường trung trực tại trung điểm của nó.

Các dạng toán thường gặp về đường trung trực

– Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp: Để chứng minh dd là đường trung trực của đoạn thẳng ABAB, ta chứng minh dd chứa hai điểm cách đều AA và BB hoặc dùng định nghĩa đường trung trực.

– Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp: Ta sử dụng định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

– Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp: Sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó; Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

– Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Sử dụng định lý sổ 4 để tìm ra cách chứng minh nhanh nhất: Nếu ba đường thẳng trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm thì điểm này sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.

– Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực của một tam giác cân

Để làm được dạng bài tập này, bạn nên chú ý rằng trong một cân đường trung trực cũng chính là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy.

– Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực của một tam giác vuông.

Một số bài tập về đường trung trực

Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Các tam giác ABD và AEC là tam giác gì?

Hướng dẫn giải:

Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB

Suy ra, tam giác ADB cân tại D.

Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC

Suy ra, tam giác AEC cân tại E.

Bài tập 2: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng?

Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC

⇒ A thuộc đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC

⇒ D thuộc đường trung trực của BC

Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC

⇒ E thuộc đường trung trực của BC

Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC

Vậy A, D, E thẳng hàng.