Trong bài viết này viethanbinhduong.edu.vn sẽ chia sẻ chuyên sâu kiến thức của đường phân giác là gì để chia sẻ cho bạn đọc
Đường phân giác là một trong những loại đường quan trọng trong hình học phẳng. Vậy đường phân giác là đường như thế nào? Làm thế nào để nhận biết một đường phân giác? Cùng tìm hiểu trong bài học này nhé!
1. Đường phân giác là gì?
Khái niệm: Đường phân giác của một góc là đường chia góc đó ra thành hai góc bằng nhau.
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
EG là đường phân giác của góc DEF nên nó chia góc DEF thành hai góc bằng nhau.
Ngoài ra ta còn có định lý đối với đường phân giác như sau.
2. Định lý đường phân giác
Những điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Từ định lý trên, ta cũng có thêm định lý ngược như sau: Điểm nào cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên đường phân giác của góc đó.
3. Chứng minh đường phân giác trong tam giác
Ta có:
Góc BAD và góc CAD bằng nhau nên ta nói AD là đường phân giác của góc BAC.
Góc ABE và góc CBE bằng nhau nên ta nói BE là đường phân giác của góc ABC.
Góc ACG và góc BCG bằng nhau nên ta nói CG là đường phân giác của góc ACB.
Ta được AD, BE, CG là ba đường phân giác của tam giác ABC.
Ta nói có thể nói:
AD là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
BE là đường phân giác xuất phát từ đỉnh B của tam giác ABC.
CD là đường phân giác xuất phát từ đỉnh C của tam giác ABC.
Nhận xét:
– Trong một tam giác có ba đường phân giác.
– Trong tam giác cân ABC cân tại A, đường phân giác xuất phát từ A cũng là đường trung tuyến.
Ta có thể chứng minh như sau:
Giả thiết: tam giác ABC cân tại A, AD là đường phân giác của góc BAC.
Kết luận: AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Ta có tam giác ABC cân tại A, nên:
Xét và , ta có:
chung
(cân)
(AD là đường phân giác của góc BAC)
Suy ra (cạnh – góc – cạnh)
Suy ra (hai cạnh tương ứng)
Suy ra D là trung điểm của BC. Vậy nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC (điều phải chứng minh).
4. Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
» Xem thêm: Tính chất đường phân giác trong tam giác & các dạng bài tập cơ bản
5. Một số bài tập đường phân giác lớp 7
Bài 1: Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Tại sao? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng
a. Trong một tam giác, đường phân giác là đường trung tuyến.
b. Đường phân giác của một góc thì chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
c. Những điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên đường phân giác của góc đó.
d. Chỉ có một điểm duy nhất nằm trên đường phân giác của một góc và cách đều hai cạnh của góc đó.
e. Trong tam giác bất kỳ, chỉ có duy nhất một đường phân giác.
f. Trong một tam giác, ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
g. Trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường trung tuyến.
h. Trong tam giác, ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.
ĐÁP ÁN
a.
Sai. Vì đường phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau còn đường trung tuyến là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng bất kỳ.
Ta sửa lại như sau: Trong một tam giác, đường phân giác không phải là đường trung tuyến.
b.
Đúng. Theo như đã khái niệm ở phần 1: Đường phân giác của một góc thì chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
c.
Đúng. Vì theo như định lý ngược đã nêu ở phần 1: Điểm nào cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên đường phân giác của góc đó.
d.
Sai. Vì theo như định lý ở phần 1: Những điểm nào nằm trên đường phân giác thì đều cách đều hai cạnh của góc đó.
Ta sửa lại như sau: Tất cả các điểm nằm trên đường phân giác đều cách đều hai cạnh của góc đó.
e.
Sai. Vì tam giác có ba góc nên có ba đường phân giác.
Ta sửa lại như sau: Trong tam giác bất kỳ, có ba đường phân giác.
f.
Sai. Vì trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến.
Ta sửa lại như sau: trong một tam giác, ba đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
g.
Sai. Vì chỉ có đường phân giác xuất phát từ đỉnh mới là đường trung tuyến.
Ta sửa lại như sau: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh, ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến.
h.
Đúng. Vì theo như định lý ba đường phân giác trong tam giác đã nói ở phần 2: Giao điểm của ba đường phân giác cách đều các cạnh của tam giác.
Bài 2: Xem hình bên dưới và cho biết các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Tại sao? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng
a. Góc EDM và góc FDM bằng nhau.
b. Góc DFO và góc ODF bằng nhau.
c. Góc DEN và góc FEN bằng nhau.
d. DM là đường phân giác của tam giác EDF.
e. EN là đường phân giác của tam giác EDF.
f. EO là đường phân giác của tam giác EDM.
g. Tam giác EDF chỉ có 1 đường phân giác là EN.
h. EN là đường phân giác của tam giác DPF.
i. Đoạn thẳng OM bằng đoạn thẳng ON.
j. O là trọng tâm tam giác DEF.
k. FP là đường phân giác của tam giác DEF.
ĐÁP ÁN
a.
Đúng. Theo như hình vẽ, ta thấy được góc EDM và góc FDM bằng nhau.
b.
Sai. Theo như hình vẽ, góc DFO và góc ODF không phải hai góc bằng nhau.
Ta sửa lại như sau: Góc DFO và góc ODF là hai góc không bằng nhau.
c.
Đúng. Theo như hình vẽ, ta thấy được góc DEN và góc FEN bằng nhau.
d.
Đúng. Vì ta có góc EDM và góc FDM bằng nhau nên DM là đường phân giác của góc EDF và cũng là đường phân giác của tam giác EDF.
e.
Đúng, Vì ta có góc DEN và góc FEN bằng nhau nên EN là đường phân giác của góc DEF và cũng là đường phân giác của tam giác EDF.
f.
Đúng, Vì ta có góc DEO và góc MEO bằng nhau nên EO là đường phân giác của góc DEM và cũng là đường phân giác của tam giác EDM.
g.
Sai. Tam giác EDF có 3 đường phân giác.
Ta sửa lại như sau: tam giác EDF có 3 đường phân giác DM, EN, FP.
h.
Sai. Vì EN không phải đường phân giác của góc nào trong tam giác DPF.
Ta sửa lại như sau: EN không phải đường phân giác của tam giác DPF.
i.
Sai. Vì không có giả thiết nào để nói hai đoạn thẳng đó bằng nhau.
Ta sửa lại như sau: đoạn thẳng OM và đoạn thẳng ON không bằng nhau.
j.
Sai. Vì O là giao điểm của ba đường phân giác, O không phải giao điểm ba đường trung tuyến nên O không phải trọng tâm.
Ta sửa lại như sau: O không phải là trọng tâm tam giác DEF.
k.
Đúng, Vì ta có góc DFP và góc EFP bằng nhau nên FP là đường phân giác của góc DFE và cũng là đường phân giác của tam giác EDF.
Bài 3: Một tam giác bất kỳ có bao nhiêu đường phân giác
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
ĐÁP ÁN
C. 3
Bài 4: Đường phân giác của một góc là đường:
A. chia góc đó ra thành hai góc bằng nhau
B. chia góc đó ra thành hai góc
C. chia góc đó ra thành hai góc phụ nhau
D. Tất cả đều đúng
ĐÁP ÁN
A. chia góc đó ra thành hai góc bằng nhau
Bài 5: Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác:
A. là trọng tâm tam giác
B. cách đều các cạnh của tam giác
C. cách đều các đỉnh của tam giác
D. tất cả đều đúng
ĐÁP ÁN
B. cách đều các cạnh của tam giác
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại B như hình vẽ, có BD là đường phân giác của góc B. Chứng minh tam giác BDC cân tại B.
ĐÁP ÁN
Ta có BD là đường phân giác của góc B. Suy ra:
Lại có:
Vì cân tại B nên:
Suy ra:
Suy ra:
hay
Vậy cân tại D.
Vậy là chúng ta đã hiểu được định nghĩa đường phân giác, tính chất đường phân giác. Hy vọng qua bài học này, các bạn học sinh sẽ có đủ kiến thức để học tốt các bài học tiếp theo.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
