Vectơ pháp tuyến: Khám phá và cách tìm của đường thẳng
Vectơ pháp tuyến và cách tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng là những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 10, môn Hình học. Để giúp các bạn có thêm tư liệu hữu ích trong quá trình học tập, Trường Trung Cấp Việt Hàn (VKI) xin chia sẻ bài viết sau đây. Chúng tôi đã cập nhật đầy đủ kiến thức cơ bản về chủ đề này cùng với nhiều bài tập vận dụng.
I. LÝ THUYẾT VỀ VECTƠ PHÁP TUYẾN
1. Pháp tuyến là gì?
Trong hình học, pháp tuyến là một đối tượng như đường thẳng, tia hoặc vectơ, vuông góc với một đối tượng nhất định. Ví dụ, trong hai chiều, đường pháp tuyến của một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một (một vectơ pháp tuyến đơn vị) hoặc không. Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt (bên trong hoặc bên ngoài).
2. Vectơ pháp tuyến là gì?
Định nghĩa: Vectơ ⃗n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ⃗n ≠ ⃗0 và ⃗n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.
Nhận xét:
- Nếu ⃗n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k⃗n (k≠0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó có vô số vectơ pháp tuyến cho mỗi đường thẳng.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
II. CÁCH TÌM VECTƠ CỦA PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương pháp giải
Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n→(a, b).
Một điểm M(x0, y0) thuộc đường thẳng d nếu: ax0 + by0 + c = 0.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?
A. n→(1, 1) B. n→(0, -1) C. n→(1, 0) D. n→(1, -1)
Giải:
Đường phân giác của góc phần tư (II) có phương trình là x + y = 0. Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến là n→(1, 1).
Ví dụ 2: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?
A. 1 B. 2 C. 4 D. Vô số.
Giải:
Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến. Các vectơ đó cùng phương với nhau.
Ví dụ 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 2x – 19y + 2098 = 0?
A. n1→ = (2, 0) B. n1→ = (2, 2098) C. n1→ = (2, -19) D. n1→ = (-19, 2098)
Giải:
Đường thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến là n→(a, b).
Do đó, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n→(2, -19).
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. A(3, 0) B. B(1, 2) C. C(1, 2) D. D(2, -1)
Giải:
Ta xét các phương án:
- Thay tọa độ điểm A ta có: 3 – 2 * 0 + 3 = 0, vô lý.
- Thay tọa độ điểm B ta có: 1 – 2 * 2 + 3 = 0, đúng.
- Tương tự, ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A(-3, 0) B. B(0, 2) C. C(3, 4) D. D(1, 2)
Giải:
- Thay tọa độ điểm A ta có: 2 (-3) – 3 0 + 6 = 0, điểm A thuộc đường thẳng d.
- Thay tọa độ điểm B ta có: 2 0 – 3 2 + 6 = 0, điểm B thuộc đường thẳng d.
- Thay tọa độ điểm C ta có: 2 3 – 3 4 + 6 = 0, điểm C thuộc đường thẳng d.
- Thay tọa độ điểm D ta có: 2 1 – 3 2 + 6 = 2 ≠ 0, điểm D không thuộc đường thẳng d.
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Đường thẳng d: 12x – 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?
A. M(1, 1) B. N(-1, -1) C. P(-2, 0) D. Q(1, 2)
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có A(1, 2); B(2, 4). Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC.
A. n→(1, -2) B. n→(2, 4) C. n→(-2, 1) D. n→(2, 1)
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A(1, -4) và M(-2, 3) là trung điểm của BC. Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC.
A. n→(1, -4) B. n→(3, 5) C. n→(3, -7) D. n→(5, -3)
Câu 4: Cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0. Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc đường thẳng d?
A. A(5, 0) B. B(0, -2) C. C(-5, -4) D. D(-2, 3)
Câu 5: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 8 = 0. Trong các vectơ sau, vectơ nào không là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d?
A. n1→(4, 6) B. n2→(-2, -3) C. n3→(4, -6) D. n4→(-6, -9)
Câu 6: Cho đường thẳng d: x = 1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.
A. n→(2, 3) B. n→(3, 2) C. n→(2, -3) D. n→(-2, 3)
Câu 7: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x – 4y + 2018 = 0?
A. n1→ = (1, 4) B. n1→ = (4, 1) C. n1→ = (2, 8) D. n1→ = (-2, 8)
Câu 8: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. d có vectơ pháp tuyến n→ = (3, 5)
B. d có vectơ chỉ phương u→ = (5, -3)
C. d có hệ số góc k = 1/(-3/5)
D. d song song với đường thẳng ∆: 3x + 5y + 9080 = 0.
Các câu hỏi thực hành này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về vectơ pháp tuyến và cách tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Hy vọng rằng bài viết đã mang đến cho bạn những kiến thức quý giá và giúp bạn học tốt hơn. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập Trường Trung Cấp Việt Hàn (VKI).
