Vi phân là gì? Công thức và cách tính vi phân? Ứng dụng là gì?

Vi phân là dạng bài liên quan đến các công thức tính đạo hàm, tích phân. Đây là một học phần rất quan trọng trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông, các bạn phải nắm chắc những kiến thức từ cơ bản đến chi tiết về vi phân. Bài tham khảo dưới đây sẽ đưa ra cho bạn câu kiến thức thú vị về vi phân.

1. Vi phân là gì?

Vi phân trong tên tiếng Anh có tên gọi là Differential Equations.

Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹ thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế, nó là một bộ môn toán học cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng.

Nhiều bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phuơng trình vi phân tương ứng. Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và khoa học khác. Nó có mặt và góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả giá trị của nhiều ngành như tối ưu, điều khiển tối ưu, giải tích số, tính toán khoa học, ….

Trong toán học, vi phân là một nhánh con của vi tích phân liên quan đến nghiên cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi. Đây là một trong hai nhánh truyền thống của vi tích phân, cái còn lại là tích phân, nghiên cứu về diện tích nằm bên dưới một đường cong.

Vi phân là một giá trị nhỏ, nhỏ rất nhiều, vô cùng nhỏ. Ta thường viết vi phân bằng các ký hiệu như 𝑑𝑥; 𝑑𝑦; 𝑑𝑡; … với:

• 𝑑𝑥 là sự thay đổi giá trị rất ít của biến 𝑥.
• 𝑑𝑦 là sự thay đổi giá trị rất ít của biến 𝑦.
• 𝑑𝑡 là sự thay đổi giá trị rất ít của biến 𝑡.

Khi so sánh 2 đại lượng có giá trị vô cùng nhỏ có mối quan hệ với nhau, như 𝑦 là một hàm 𝑓 nào đó của biến 𝑥, ta nói vi phân 𝑑𝑦, với 𝑦 = 𝑓(𝑥) được viết là: dy= f'(x) dx.

Lưu ý: Ta xem dy/ dx như là một phân số (tức ta có quyền tác động vào tử, mẫu một cách độc lập) hơn là một toán tử.

2. Cách tính vi phân:

2.1. Cách tính vi phân cơ bản:

Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Cho x một số gia Δx tùy ý, nếu tại số gia của hàm số y=f(x0+x)-f(x0) viết dưới dạng: Δy=AΔx+α(Δx).

Trong đó A là đại lượng không phụ thuộc vào Δx và α(Δx) là vô cùng bé bậc cao hơn Δx (nghĩa là α(Δx)→0 khi Δx→0) ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm và đại lượng AΔx được gọi là vi phân của hàm số tại điểm . Ký hiệu: dy=ΔA.x.

2.2. Vi phân hàm ẩn:

Với những phương trình mà y không thể biểu diễn theo x chỉ bằng cách chuyển vế, chẳng hạn: 4y³ + 2x²y² + 3x² = 0.

Để tính dy/dx theo những cách thông thường trước đây thì rất phức tạp để biến đổi y theo x, thậm chí là không thể. Vậy ta phải có một cách nào đó để tính vi phân nhằm xác định tốc độ thay đổi của y khi x thay đổi.

Để làm được điều này thì chúng ta cần biết đến vi phân hàm ẩn.

2.3. Vi phân của hàm số có lũy thừa:

Hàm hợp: Nếu 𝑦 là hàm số theo 𝑢, còn 𝑢 là hàm số theo 𝑥 thì ta nói: “𝑦 là hàm hợp theo 𝑥”.

Ví dụ: Hãy mô tả phương trình: y=(2x+5)¹³

Trả lời: Nếu ta gọi u=2x+5 (biểu thức trong ngoặc) thì phương trình trên viết lại thành: y=u¹³

Ta đã viết y là hàm số theo u, và tương tự u là hàm số theo x. Đây là khái niệm quan trọng trong vi phân. Những phương trình ta gặp đến bây giờ sẽ là phương trình trong phương trình và ta cần phải nhận diện chúng để có thể tính vi phân một cách chính xác.

Quy tắc xích Để tìm đạo hàm hàm hợp, ta cần sử dụng quy tắc xích: dy—dx=dy—du.du—dx

Điều này có nghĩa ta cần phải:

– Nhận diện u (luôn luôn chọn biểu thức nằm trong cùng, thường nằm trong ngoặc hay dưới dấu căn).

– Sau đó ta cần ghi lại biểu thức y theo u.

– Đạo hàm y (theo u) sau đó ta biểu diễn lại mọi thứ theo x.

– Bước tiếp theo ta tìm dy—dx.

– Nhân dy—du với du—dx.

2.4. Vi phân toàn:

Phương trình vi phân dạng:

M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 (1)

được gọi là phương trình vi phần toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện: vế trái của phương trình (1) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào đó. Tức là tồn tại một hàm U(x,y) khả vi nào đó sao cho: dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy.

Điều kiện để một phương trình vi phân dạng (1) trở thành phương trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết phương trình vi phân toàn phần) là: ∂M—∂y=∂N—∂x.

3. Một số công thức tính vi phân:

Để tính vị phân chúng ta có thể sử dụng một số công thức sau đây:

Công thức: cos xdx = d(sin x)

Công thức: sin xdx = -d(cos x)

Công thức: 1—sin²x dx = -d(cot x)

Công thức: 1—cos²x dx = d(tan x)

Công thức: e× dx = d(e×)

Công thức: a× dx = 1—ln a d(a×)

Công thức: 1—x dx = d(ln x)

Công thức: sin(ax + b)dx = -1/a d(cos(ax + b))

4. Ứng dụng vi phân:

Vi phân có thể giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong thế giới thực. Ta dùng đạo hàm để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm riêng biệt (ví dụ như giá tiền, độ dài, số lượng vật liệu dùng cho xây dựng, lợi ích, tổn thất,.). Ta dễ bắt gặp phép tính đạo hàm trong các vấn đề liên quan đến cơ khí và tin học, đặc biệt khi ta làm mô hình đặc điểm của một vật thể đang chuyển động.

4.1. Ứng dụng Mạch RL:

Ta hãy xem xét mạch RL (điện trở R và cuộn cảm L) được hiển thị ở trên. Lúc t = 0 công tắc đóng và dòng điện chạy qua mạch. Các định luật về điện phát biểu rằng điện áp trên một điện trở có điện trở R bằng R i và điện áp trên một cuộn cảm L được cho bởi L di/dt (i là dòng điện). Một định luật khác đưa ra một phương trình liên quan đến tất cả các điện áp trong mạch trên như sau: L di/dt + Ri = E , trong đó E là điện áp không đổi.

Phương trình vi phân trên có thể được viết như sau: L [ di / dt ] / [E – R i] = 1 có thể được viết là: (L / R) [ – R di ] / [E – Ri] = dt Tích phân cả hai vế: (L / R) ln(E – R i) = t + c , c hằng số của tích phân. Tìm hằng số c bằng cách đặt i = 0 tại t = 0 (khi đóng công tắc) sẽ cho c = (-L / R) ln(E) Thay c vào giải pháp: (L / R) ln(E – R i) = t + (-L/R) ln (E) có thể được viết là: – (L/R) ln (E)- (L / R) ln(E – R i) = t – ln[E/(E – Ri) ] = t(R/L) Đổi thành dạng mũ: [E/(E – Ri)] = e t(R/L) Giải i để được i = (E/R) (1-e -Rt/L )

Mô hình ban đầu cho mạch là một phương trình vi phân mà khi được giải sẽ đưa ra biểu thức của dòng điện trong mạch dưới dạng hàm của thời gian.

4.2. Ứng dụng trong công thức Newton:

Với những phương trình phức tạp mà bạn không thể giải thuần túy đại số thì bài viết này rất hữu ích cho bạn.

Các máy tính sử dụng công thức vòng lặp để giải phương trình. Quá trình này bao gồm phán đoán ra cách giải đúng và áp dụng công thức để đưa ra các phán đoán chính xác hơn cho đến khi ta tìm ra được giá trị (có thể xấp xỉ) đúng nhất của phương trình.

Nếu ta muốn tìm 𝑥 để 𝑓(𝑥) = 0 (dạng bài toán phổ biến) thì ta đoán một vài giá trị x1 gần đúng nhất, từ đó ta sẽ tìm ra giá trị xấp xỉ phù hợp bằng cách sử dụng công thức Newton: x2=x1−f(x1)f'(x1)

4.3. Ứng dụng trong chuyển động cong:

Ở bài Đạo hàm với tốc độ thay đổi tức thời, ta đã tìm ra cách xác định vận tốc theo phương trình chuyển động bằng cách.

v=ds/dt

Gia tốc theo phương trình vận tốc (hay phương trình chuyển động), sử dụng:

a=dv/dt=d²s/dt²

Công thức trên chỉ thích hợp với chuyển động thẳng (như vận tốc và gia tốc trên đường thẳng), điều này chưa phù hợp với nhiều vấn đề trong cuộc sống. Vì vậy ta nghiên cứu đến khái niệm về chuyển động cong khi một vật thể di chuyển theo đường cong định trước. Thông thường ta biểu diễn thành phần chuyển động là 𝑥 và 𝑦 là hàm số theo thời gian, gọi là dạng tham số.

4.4. Ứng dụng trong tốc độ liên quan:

Nếu ta có 2 đại lượng phụ thuộc theo thời gian và giữa chúng có sự liên quan với nhau, ta có thể biểu thị tốc độ thay đổi của đại lượng này theo đại lượng khác. Khi đó ta cần vi phân cả hai bên theo thời gian, tức là ta sẽ tìm df/dt của hàm 𝑓(𝑡) nào đó.

5. Một số bài tập vi phân:

Câu 1:

Cho hàm số y = sin2⁡x. Vi phân của hàm số là:

A. dy = -sin2xdx

B. dy = sin2xdx

C. dy = sinxdx

D. dy = 2cos⁡dx

Đáp án là: B

Ta có dy = d(sin2⁡x ) = (sin2⁡x )’dx = cosx.2sinxdx = sin2xdx

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) = (x-1)2 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

A. dy = 2(x-1)dx

B. dy = 2(x-1)

C. dy = (x-1)dx

D. dy = (x-1)2 dx

Đáp án là: A

y = f(x) = (x-1)2 ⇒ y’ = 2(x-1) ⇒ dy = 2(x-1)dx

Câu 3: Vi phân của hàm số f(x) = 3×2 – x tại điểm x = 2 , ứng với Δx = 0,1 là:

A. -0,07 B. 10 C. 1,1 D. -0,4

Đáp án là: C

Ta có: f'(x) = 6x-1 ⇒ f'(2) = 11

df(2) = f'(2)Δx = 11.0,1 = 1,1

Câu 4: Cho hàm số y = sin2x. Chọn khẳng định đúng

A. 4y – y’ = 0

B. 4y + y’ = 0

C. y = y’.tan2x

D. y2 = (y’)2 = 4

Đáp án là : B

Ta có: y’ = 2cos2x; y” = -4sin2x ⇒ 4y + y” = 0

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) = -1/x. Xét hai mệnh đề:

(I): y” = f ”(x) = 2/x3 (II): y”’ = f”’ (x) = -6/x4

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I) đúng

B. Chỉ (II) đúng

C. Cả hai đều đúng

D. Cả hai đều sai

Đáp án là: D

Câu 6: Cho hàm số f(x) = (x+1)3. Giá trị f”(0) bằng

A. 3 B. 6 C. 12 D. 24

Đáp án là: B

Vì: f ‘(x) = 3(x+1)2; f ”(x) = 6(x+1)⇒ f”(0) = 6

Bài 7: Cho hàm số f(x) = sin3⁡x + x2. Giá trị f ‘(π/2) bằng

A. 0 B. -1 C. -2 D. 5

Đáp án là: B

Vì: f ‘(x) = 3 sin2⁡xcos⁡x + 2x; f”(x) = 6sin⁡x.cos2⁡x – 3sin3⁡x + 2 ⇒ f” (π/2) = -1

Bài 8: Tìm vi phân của hàm số y = xsinx + cosx

A. dy = xcosxdx

B. dy = xcosx

C. dy = (2sinx + xcosx)dx

D. dy = (sinx+cosx)dx

Đáp án là: A

y’ = sinx + xcosx – sinx = xcosx

do đó dy = xcosxdx