Hãy cùng chúng tôi khám phá về khái niệm đường trung trực, tính chất của nó, cách nhận biết và giải các bài tập liên quan thông qua bài viết này. Đội ngũ INVERT sẽ chỉ cho bạn cách chứng minh đường trung trực một cách đơn giản và dễ hiểu.
I. Đường Trung Trực là gì?
Đường trung trực là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng. Trong một đường thẳng, đường trung trực là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Ví dụ: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng d vì M là trung điểm của AB và d vuông góc với AB tại M.
II. Tính chất đường trung trực
1. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Cho hình vẽ, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta nói: A đối xứng với B qua d.
Ví dụ: Trong hình vẽ, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Cho hình vẽ, điểm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Ta có OA = OB = OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
3. Tính chất đường trung trực của tam giác cân
Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy còn được gọi là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
4. Tính chất đường trung trực của tam giác vuông
Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền chính là giao điểm của 3 đường trung trực. Tam giác ABC vuông tại B, giao điểm của 3 đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.
5. Tính chất đường trung với đường tròn ngoại tiếp tam giác
Áp dụng tính chất giao điểm 3 đường trung trực của tam giác: Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Khi đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
III. Cách chứng minh đường trung trực
Có 5 phương pháp để chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng AB:
- Phương pháp 1: Chứng minh d vuông góc AB tại trung điểm AB.
- Phương pháp 2: Chứng minh 2 điểm trên d cách đều 2 điểm A và B.
- Phương pháp 3: Dùng tính chất đường trung tuyến, đường cao.
- Phương pháp 4: Áp dụng tính chất đối xứng của trục.
- Phương pháp 5: Áp dụng tính chất đoạn nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau ở 2 điểm.
IV. Các dạng bài tập chứng minh đường trung trực
Cách chứng minh đường trung trực lớp 6, 7, 8 thường có nhiều yêu cầu khác nhau nhưng nhìn chung thì sẽ có 5 dạng cơ bản sau:
- Dạng 1: Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng bằng nhau.
- Dạng 2: Chứng minh d là đường trung trực của AB.
- Dạng 3: Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
- Dạng 4: Đường trung trực trong tam giác cân.
- Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất.
V. Một số bài tập về đường trung trực
1. Bài tập đường trung trực có lời giải
Bài 1: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Giải: Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC.
Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC
Vì ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của BC
Do đó A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC
Vậy A, D, E thẳng hàng
Bài 2: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Giải: Giả sử ΔABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh ΔABC là tam giác cân. Thật vậy, vì AM là trung tuyến của ΔABC ⇒ BM = MC (tính chất trung tuyến)
Vì AM là trung trực của BC ⇒ AM ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông ΔABM và ΔACM có:
BM = CM (cmt)
AM chung
⇒ ΔABM = ΔACM (2 cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔABC cân tại A
Chọn đáp án B
Bài 3: Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.
Giải: Nối BE và ED
Xét ΔADB và ΔADE có:
AD cạnh chung
∠BAD = ∠EAD (AD là tia phân giác góc BAC)
AB = AE (gt)
Do đó: ∠ADB = ∠ADE (c-g-c)
Suy ra DB = DE
Lại có AB = AE (gt)
Do đó AD là đường trung trực của BE
Hay AD vuông góc với BE
Bài 4: Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu MA có độ dài 5cm thì độ dài MB bằng bao nhiêu?
Giải: Vì điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên theo định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực ta có MA = MB. Mà MA = 5cm (gt) suy ra MB = 5cm.
Bài 5: Chứng minh đường thẳng PQ là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Giải: Ta có: Hai cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại P, Q.
Nên MP = NP và MQ = NQ
⇒ P; Q cách đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN
nên theo định lí 2 : P; Q thuộc đường trung trực của MN
hay đường thẳng qua P, Q là đường trung trực của MN.
Vậy PQ là đường trung trực của MN.
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B.
Giải: Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB
Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB
⇒ M thuộc đường trung trực của AB
